Оценка устойчивости по ЛЧХ

АФЧХ разомкнутой системы разделяются на два типа:

АФЧХ первого рода, все точки, скрещения которых с вещественной осью размещены справа от критичной точки (кривая 1, рис. 3.14);

АФЧХ второго рода, точки, скрещения которых с вещественной осью размещены как справа, так и слева от критичной точки (кривая 2, рис. 3.14).

В системах первого рода повышение Оценка устойчивости по ЛЧХ коэффициента усиления ведет к сдвигу ветки кривой на лево и приближению ее к критичной точке. Припасы стойкости при всем этом уменьшаются и при k=kкр система попадает на границу стойкости. Уменьшение коэффициента усиления выравнивает систему. В системах 2-го рода переход системы на границу стойкости может происходить как при увеличении коэффициента усиления, так Оценка устойчивости по ЛЧХ и при его уменьшении. Из аспекта Найквиста следует, что замкнутая система, имеющая в разомкнутом состоянии АФЧХ 1-го рода устойчива, если всем точкам АФЧХ, прямо до точки скрещения ее с окружностью единичного радиуса (w=wс) , соответствуют значения фазы j(w), огромные, чем -p, т.е. должно производиться неравенство wс

Для того чтоб система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ первого рода, была устойчивой и в замкнутом состоянии, нужно и довольно, чтоб при всех частотах, при которых ЛАХ положительна, значения фазовой свойства были больше, чем -p, т.е. wс

По ЛЧХ Оценка устойчивости по ЛЧХ просто определяются и припасы стойкости, при этом припас стойкости по усилению в логарифмическом масштабе должен удовлетворять условию ç Нê>6дб, что соответствует значениям h>2.

Для того, чтоб САУ неуравновешенная в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ 2-го рода, была устойчивой в замкнутом состоянии, нужно и довольно, чтоб разность меж числом Оценка устойчивости по ЛЧХ положительных и отрицательных переходов фазовой чертой через линию -p была равна р/2, где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости, при всех частотах когда L(w)>0.

Следует отметить, что показанные методы оценки стойкости по ЛЧХ и определения припасов стойкости справедливы при таком расположении Оценка устойчивости по ЛЧХ оси ординат относительно фазовой свойства, когда с началом координат совмещена точка j(w)=-1800.

По ЛЧХ можно найти и критичный коэффициент усиления. Для этого нужно сдвинуть ЛАХ повдоль линий сопряжения параллельно самой для себя так, чтоб выполнить условие wс = wp и вычислить коэффициент усиления для вновь приобретенной ЛАХ.

Определение Оценка устойчивости по ЛЧХ критичного коэффициента усиления для статической и астатической систем иллюстрируется рис. 3.17 а и 3.17б.

Некие особенности появляются при определении критичного коэффициента усиления, если в состав передаточной функции разомкнутой системы заходит колебательное звено с малым показателем затухания, при этом начало асимптоты, соответственной этому звену лежит ниже оси частот. В данном случае критичный Оценка устойчивости по ЛЧХ коэффициент усиления определяется в момент касания резонансного пика оси частот.

Пример. Выстроить ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа и оценить ее устойчивость. Найти припасы стойкости и высчитать критичное значение передаточного числа по углу тангажа.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно привести к виду

Корешки характеристического уравнения разомкнутой системы имеют значения:

Как следует, После преобразований Оценка устойчивости по ЛЧХ получим

где

Определим частоты сопряжения и разобьем сетку координат.

Построим ЛАХ системы, беря во внимание, что коэффициент усиления разомкнутой системы равен Потому что относительный показатель затухания мал, то нужно полученную ЛАХ уточнить в округи частоты сопряжения w03.

Это можно сделать как по особым графикам, так и расчетным методом Оценка устойчивости по ЛЧХ по известной амплитудной частотной характеристике. АЧХ данной системы определяется выражением

Подставив несколько значений частоты в округи частоты сопряжения w03, получим значения АЧХ, рассчитаем значения ЛЧХ и построим уточняющую кривую. Фазовая частотная черта строится как сумма фазовых черт типовых звеньев, входящих в состав передаточной функции

где

Из графиков ЛЧХ следует, что wс

В исследуемом случае критичный коэффициент усиления определяется при касании L(wр) оси частот. Перенесем ЛАХ параллельно самой для себя так, чтоб в точке w=wр она касалась оси частот и продлим первую асимптоту до скрещения с осью частот. В этой Оценка устойчивости по ЛЧХ точке k=w=7.244, что соответствует значению (ku)кр=16.74.

Выделение областей стойкости

Посреди физических характеристик, характеризующих САУ, всегда есть некоторое количество, просто поддающихся изменению и использующихся для определенной опции системы. При конструировании системы очень принципиально знать спектры значений изменяемых характеристик, допустимые исходя из убеждений сохранения стойкости САУ. Об этих спектрах Оценка устойчивости по ЛЧХ можно судить, если в пространстве изменяемых характеристик выстроить область стойкости, т.е. выделить область значений характеристик, при которых система сохраняет устойчивость.

Область стойкости в теории автоматического управления принято именовать D – областью, а представление области характеристик в виде областей стойкости и неустойчивости именуют D – разбиением.

Построение области стойкости по алгебраическим аспектам

Допустим Оценка устойчивости по ЛЧХ, что коэффициенты характеристического уравнения

зависят от 2-ух изменяемых характеристик m и l. Для построения области стойкости сначала необходимо, в согласовании с нужным условием стойкости, выделить область изменяемых характеристик при нахождении в какой, коэффициенты характеристического уравнения положительны. Это можно сделать, решив систему уравнений

(3.26)

Для построения границы положительности коэффициентов аi нужно из решений уравнений Оценка устойчивости по ЛЧХ (3.26) избрать те, которые обеспечивают положительность всех коэффициентов. Из всех границ положительности только две сразу могут быть и границами стойкости. Такими являются границы, уравнениями которых являются

(3.27)

Подтверждено, что если d0 и dn приблизятся к нулю, то характеристическое уравнение будет иметь два реальных корня

(3.28)

При предстоящем уменьшении коэффициенты d0 и dn перейдут через ноль Оценка устойчивости по ЛЧХ, станут отрицательными, а корешки (3.28) окажутся положительными. Потому что вещественные корешки определяют апериодические составляющие решения дифференциального уравнения, то границы (3.27) именуют апериодическими границами стойкости. На самих границах стойкости корешки (3.28) равны соответственно ±¥ и 0. Стороны кривых, di(m,l)=0, примыкающие к области положительности соответственных коэффициентов, штрихуются в сторону положительности Оценка устойчивости по ЛЧХ. Может случиться так, что какой или из коэффициентов, d0 либо dn не находится в зависимости от изменяемых характеристик. Это значит отсутствие соответственной апериодической границы стойкости.

Колебательной границей стойкости именуется кривая в плоскости изменяемых характеристик, при переходе через которую пара комплексно – сопряженных корней изменяет символ собственной вещественной части на оборотный. Подтверждено Оценка устойчивости по ЛЧХ, что колебательная граница стойкости определяется выражением

(3.29)

В этом выражении Dn-1 – (n-1) – й определитель Гурвица. Колебательная граница стойкости штрихуется в сторону положительности Dn-1.

Пример. Выстроить область стойкости в плоскости характеристик ku и kwz системы стабилизации угла тангажа.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Исследуем неравенства d2>0, d3>0, d4>0 . Из первого неравенства следует Оценка устойчивости по ЛЧХ, что для положительности коэффициента d2 нужно, чтоб производилось условие

Неравенство d4>0 определяет, что для положительности этого коэффициента нужно, чтоб ku>0. Для выполнения неравенства d3>0 требуется, чтоб

При всех значениях передаточного числа по углу огромных нуля, правая часть последнего выражения по модулю будет больше единицы. Таким макаром, границами положительности коэффициентов будут

От Оценка устойчивости по ЛЧХ изменяемых характеристик зависит коэффициент dn=d4 и не зависит коэффициент d0. Потому уравнение ku=0 сразу является и апериодической границей стойкости.

Составив определитель Гурвица, для его Dn-1 минора получим

Подставим в это выражение значения коэффициентов d2, d3, d4, как функций характеристик ku и kw , после преобразований получим квадратное уравнение, определяющее передаточное Оценка устойчивости по ЛЧХ число по угловой скорости как функцию от передаточного числа по углу тангажа

По этому выражению строится колебательная граница стойкости. График деления области исследуемых характеристик на области стойкости и неустойчивости показан на рис. 3.19.

Граница колебательной неустойчивости штрихуется в сторону положительности Dn-1- го определителя Гурвица, а ровная kwz=0 в сторону положительности этого коэффициента.

Для Оценка устойчивости по ЛЧХ проверки приобретенных результатов выберем какие – или значения характеристик снутри заштрихованной области, к примеру ku=5, kwz=0.6, вычислим значения коэффициентов характеристического уравнения и оценим устойчивость замкнутой системы по аспекту Гурвица.

Получим, что при избранных значениях передаточных чисел система устойчива. Это значит, что и вся область, вовнутрь которой обращены штришки Оценка устойчивости по ЛЧХ, является областью стойкости.

D – разбиение в плоскости 1-го параметра

Пусть нас интересует воздействие какого – или 1-го параметра на устойчивость САУ и этот параметр заходит в характеристическое уравнение линейно, так что это уравнение можно представить в виде

(3.30)

Сделав подмену s= jw , получим

(3.31)

Задавая значения частоты от -¥ до +¥, можно выстроить кривую m Оценка устойчивости по ЛЧХ(w), отображающую надуманную ось плоскости корней на плоскость m. Эта граница D – разбиения симметрична относительно вещественной оси. Потому вычисления можно вести в спектре частот от 0 до +¥, а потом дополнить полученную кривую ее зеркальным отображением на спектр частот от -¥ до нуля. При движении по надуманной оси от -¥ до Оценка устойчивости по ЛЧХ +¥ на плоскости корней область стойкости остается слева. Потому при движении по кривой D – разбиения в сторону роста частоты ее штрихуют слева. Область, вовнутрь которой обращены штришки, является предполагаемой областью стойкости. Для окончательного решения, нужно взять какое – или вещественное значение параметра m в исследуемой области и пользоваться каким – или аспектом стойкости Оценка устойчивости по ЛЧХ. Если при избранном значении параметра система устойчива, то рассматриваемая область является областью стойкости.

Пример. Выстроить область стойкости системы стабилизации угла тангажа в плоскости передаточного числа ku.

Характеристическое уравнение исследуемой системы можно записать в виде

где

В приобретенных выражения создадим подмену s=jw и получим

В этих выражениях

Построенная по этим Оценка устойчивости по ЛЧХ выражениям кривая D – разбиения показана на рис. 3.20.

Потому что нужным условием стойкости рассматриваемой системы является ku>0, то надуманная ось также является границей стойкости и штрихуется в сторону положительности ku. Значение этого коэффициента, равное 5, находится снутри заштрихованной области и мы знаем, что при всем этом значении система устойчива. Означает и Оценка устойчивости по ЛЧХ весь отрезок вещественной оси, расположенный снутри заштрихованной области, дает значения передаточного числа по углу, при которых система устойчива. Можно показать, что окончание этого отрезка находиться в точке, равной критичному значению коэффициента ku=16.56.

D – разбиение в плоскости 2-ух характеристик

Пусть коэффициенты характеристического уравнения линейно зависят от 2-ух характеристик m и l так Оценка устойчивости по ЛЧХ, что его можно записать в виде

(3.32)

После подмены s=jw получим

Потому что равенство нулю всего перевоплощенного характеристического уравнения может производиться только, если сразу равны нулю его вещественная и надуманная части, то получим систему уравнений относительно изменяемых характеристик

(3.33)

Разрешив систему (3.33) относительно m и l, получим

где

Задавая значения частоты от -¥ Оценка устойчивости по ЛЧХ; до +¥, определим совокупа точек на плоскости m - l, образующих кривую D – разбиения. Функции m(w) и l(w) являются четными, и потому, при изменении частоты в обозначенных выше границах, кривая D – разбиения пробегается два раза. При построении кривой D – разбиения в плоскости 2-ух характеристик нужно управляться последующими правилами [8,14]:

1) если Оценка устойчивости по ЛЧХ в системе (3.33) 1-ое уравнение получено из вещественных частей, а 2-ое – из надуманных частей функций P(jw), Q(jw) и S(jw) и если параметр m по написанию стоит первым, а l - вторым, то система координат должна быть правой, т.е. ось m является осью абсцисс с отсчетом положительных значений на Оценка устойчивости по ЛЧХ право, а ось l - осью ординат с отсчетом положительных значений ввысь;

2)двигаясь по кривой D – разбиения при изменении частоты в сторону роста, ее штрихуют слева, если D(w)>0, и справа, если D(w)<0; в итоге кривая штрихуется два раза с одной стороны, потому что на концах Оценка устойчивости по ЛЧХ кривой при w=0 и w=¥ символ головного определителя D(w) меняется.

Может быть случай, когда при w=w*¹ 0,¥ сразу D(w*)= =Dm(w*)=Dl(w*)=0. Тогда система (3.33) становится линейно – зависимой и ее уравнения отличаются друг от друга лишь на неизменный множитель. В данном случае эта система сводится к Оценка устойчивости по ЛЧХ одному уравнению, определяющему на плоскости m - l прямую линию, которая именуется особенной прямой.

Если особенная ровная пересекает кривую D – разбиения в точке w=w* и в этой точке определитель D(w) меняет символ, то эта ровная также является границей стойкости и в обозначенной точке меняется направление штриховки кривой Оценка устойчивости по ЛЧХ и особенной прямой. Если при w=w* изменение знака головного определителя не происходит, то штриховка на необыкновенную прямую не наносится. Если свободный член характеристического уравнения dn=dn(m,l), то это соответствует существованию особенной прямой для w=0 и ее уравнение будет

(3.34)

Уравнение особенной прямой для w=¥ определяется выражением

(3.35)

Прямые (3.34) и (3.35) именуются концевыми Оценка устойчивости по ЛЧХ. Они штрихуются одинарной штриховкой, согласованной в точках w=0 и w=¥ с направлением штриховки основной полосы. Предполагаемая область стойкости находится снутри заштрихованного участка и проверяется аналогично предшествующему. Переход через кривую D – разбиения, заштрихованную два раза, соответствует переходу через границу стойкости 2-ух корней, а переход через необыкновенную концевую с Оценка устойчивости по ЛЧХ одинарной штриховкой – переходу 1-го корня. Если концевые прямые не имеют общих точек с основной кривой, то штриховка на их наносится в сторону положительности характеристик.

Пример. Выстроить область стойкости системы стабилизации угла тангажа в плоскости характеристик ku и kwz.

Характеристическое уравнение замкнутой системы может быть представлено в виде (3.32), где

После Оценка устойчивости по ЛЧХ подстановки s=jw и выделения вещественных и надуманных частей, получим

Составив систему уравнений (3.33) и решив ее, получим

Определив корешки этих уравнений, можно прийти к выводу, что общих корней, не считая нулевого корня, не существует.

Означает особенных прямых нет, существует только концевая ровная, соответственная уравнению dn=kcku=0. Руководствуясь выше приведенными правилами Оценка устойчивости по ЛЧХ, построим кривую D – разбиения и заштрихуем ее и концевую прямую. Проверку осуществим в точке ku=5, kwz=0.6.

уже ранее установили, что в этой точке система устойчива, а означает и заштрихованная область является областью стойкости.

Заключение

Практическая пригодность САУ, определяется ее устойчивостью и применимым качеством процесса управления (регулирования). На всякую САУ действуют разные наружные Оценка устойчивости по ЛЧХ возмущения, которые могут нарушать ее нормальную работу. Верно спроектированная система должна стабильно работать при всех наружных возмущениях.

В простом случае, понятие устойчивость системы связана со способностью ее возвращения к начальному состоянию после краткосрочного наружного воздействия. Если система неуравновешенная, она не ворачивается к состоянию равновесия, из которого по каким Оценка устойчивости по ЛЧХ-то причинам вышла.

Только устойчивая система автоматического управления может делать возложенные на нее функции. Потому одной из главных задач САУ является обеспечение ее стойкости.

Устойчивость считается важным и неотклонимым понятием, потому что исключительно в устойчивой системе могут быть удовлетворены другие требования к качеству.

В собственной работе я изучил устойчивость Оценка устойчивости по ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа самолета и определял критичное значение передаточного числа автопилота по углу тангажа, используя разные аспектами стойкости. А конкретно:

ü Аспектом стойкости Рауса-Гурвица;

ü Аспектом стойкости Михайлова;

ü Аспектом стойкости Найквиста.


ocenka-tochnosti-rezultatov-ravnotochnih-izmerenij-arifmeticheskaya-seredina.html
ocenka-tovara-po-vibrannoj-sisteme-pokazatelej.html
ocenka-truda-uchitelej-v-ssha.html