Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина

Если имеется ряд результатов равноточных измерений l1; l2; …; ln одной и той же величины, то за окончательное значение принимают среднюю арифметическую величину L из всех результатов.

.

Если настоящее значение измеряемой величины х, то абсолютные ошибки будут равны:

Δ1= l1- х;

Δ2= l2- х;

………;

Δ n= ln- х,

________

[Δ] = [l] – nx.

Из суммы равенств Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина получим, что .

В согласовании со свойством 4 случайных ошибок, с повышением числа измерений величина при n → ∞.

Как следует, при нескончаемо большенном числе измерений, среднее арифметическое L будет стремиться к настоящему значению измеряемой величины х.

Величина при конечном числе измерений будет вероятнейшим значением определяемой величины, именуемой арифметической серединой. Разность меж результатом Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина измерения и средним арифметическим именуют уклонением от арифметической середины либо вероятнейшими ошибками υ, т. е. l1 - L = υ1.

Сумма вероятнейших ошибок приравнивается нулю , если величина среднего арифметического не имела округлений.

В топографии и геодезии в качестве критериев точности измерений в главном используют среднюю квадратическую ошибку и относительную ошибку.

Среднюю квадратическую ошибку отдельного Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина результата измерения m вычисляют по формуле Гаусса: .

Формулу Гаусса можно использовать, когда понятно настоящее значе­ние измеренной величины, а для оценки точности величин, настоящее значение которых непонятно, применяется формула Бесселя , где υ – вероятнейшая ошибка.

Среднюю квадратическую ошибку арифметической середины М выражают через среднюю квадратическую ошибку m отдельного изме­рения, т. е Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина. .

Таким макаром, средняя квадратическая ошибка арифметической середины из результатов равноточных измерений в раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения. Для уменьшения ошибки измерения, к примеру, в 2 раза, количество измерений нужно прирастить в 4 раза.

Применительно к определенным условиям указывают аспект отбра­ковки результатов измерений. В качестве такового аспекта служит Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина пре­дельная ошибка. Для более важных измерений используются повы­шенные требования к точности и величину предельной ошибки прини­мают равной 2m, т. е. Δпр.= 2m (двойное значение средней квадратической ошибки. Для наименее важных измерений принимается величина предельной ошибки равная 3m, т. е. Δпр.=3m (утроенное значение средней квадратической ошибки).

Пример Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина, если при угловых измерениях m = 5˝, то «по правилу 2m» отбраковываются все результаты, значения которых по абсолютной величине больше 10˝, а применительно к «правилу 3m» отбраковываются – больше 15˝.

Для суждения о точности многих измерений недостаточно определения величины абсолютной ошибки, нужно еще знать значение самой измеряемой величины. Так, для получения представления о Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина точности линейных, площадных и других измерений применяется относительная ошибка.

Относительная ошибка – это отвлеченное число, выражающее отношение абсолютной ошибки к результату измерения. Относительную ошибку принято выражать обычный дробью, числитель которой равен единице.

– для отдельного результата измерений

–для арифметической середины.

Значение знаменателя принято округлять до 2-ух важных цифр. Чем больше знаменатель, тем выше Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина точность выполненных работ.

Разглядим пример. Измерены две полосы: одна длиной 220 м со средней квадратической ошибкой 0,17 м, другая – длиной 390 м со средней квадратической ошибкой 0,23 м, т. е. L1 = 220 м, m1= 0,17 м, L2 = 390 м, m2= 0,23 м. Какая из линий измерена поточнее?

Подставив результаты измерений и вычислений в вышеприведенные формулы,получим Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина,что относительная ошибка в первом случае будет равна , а во 2-м – . Как следует, 2-ая линия измерена поточнее, невзирая на огромную величину абсолютной ошибки.

4.5. Оценка точности результатов неравноточных
измерений

При неравноточных измерениях нельзя принимать в обработку среднее арифметическое из результата ряда наблюдений, т. к. нужно учесть достоверность каждого результата. Более четкие Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина измерения должны оказывать большее воздействие на окончательный итог.

Для обработки результатов неравноточных измерений вводят понятие о математическом весе измерения. Вес определяет степень надежности результатов измерений. Чем поточнее итог измерений, тем больше его вес. Точность результата измерения характеризуется его средней квадратической ошибкой. Как следует, чем меньше средняя квадратическая ошибка Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина результата измерения и чем больше его вес, тем надежнее итог.

Таким макаром, вес результата измерения р – это величина назад пропорциональная квадрату средней квадратической ошибки, характеризующей итог данного измерения.

Если ряд неравноточных измерений l1; l2; …; ln, а их средние квадратические ошибки имеют значения m1; m2; …; mn, то надлежащие им Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина веса, будут где с – некая неизменная величина, число случайное, но одно и тоже при определении значений всех весов.

Обозначим вес среднего арифметического, приобретенного из n измерений Р, а вес 1-го измерения – p, тогда

Как следует, вес арифметической середины в n раз больше веса каждого отдельного результата измерения.

Пусть некая величина Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина Х измерена n раз в разных критериях. При всем этом получены результаты l1 с весом p1 , l2 с весом p2, и т. д. соответственно. Тогда более возможным значением будет среднее весовое либо общее арифметическое среднее (общая арифметическая середина), вычисляемое по формуле .

Общей арифметической серединой либо весовым средним неравноточных измерений именуется Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина сумма произведений результата каждого измерения на его вес, разбитая на сумму весов.

Настоящие значения измеряемых величин, обычно, неопознаны, потому при оценке точности результатов неравноточных измерений употребляют вероятнейшие ошибки.

Средняя квадратическая ошибка единицы веса µ определяется по формуле , где υ – вероятнейшая ошибка (уклонение от общей арифметической середины) υ = l – L0 ; n – число измерений.

Средняя Оценка точности результатов равноточных измерений. Арифметическая середина квадратическая ошибка весового среднего либо общей арифметической средней М0 рассчитывается по формуле , где Р – сумма весов.


ocenka-rezultativnosti-psihologo-pedagogicheskogo-soprovozhdeniya-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo.html
ocenka-rezultatov-deyatelnosti-personala-organizacii.html
ocenka-rezultatov-i-vivodi.html